Giải mục 2 trang 7, 8, 9 SGK Toán 9 tập 1 – Chân trời sáng tạo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Xét hai phương trình

\(2x + \frac{1}{{x – 2}} – 4 = \frac{1}{{x – 2}}\,\,(1)\) và \(2x – 4 = 0\,\,(2)\)

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?

b) \(x = 2\) có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?

c) \(x = 2\) có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?

Phương pháp giải:

– Quy đồng mẫu thức phương trình (1) để chuyển về phương trình (2).

– Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) và phương trình (2) để kiểm tra \(x = 2\) có phải là nghiệm hay không.

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}2x + \frac{1}{{x – 2}} – 4 = \frac{1}{{x – 2}}\,\,\\\frac{{2x(x – 2)}}{{x – 2}} + \frac{1}{{x – 2}} – \frac{{4(x – 2)}}{{x – 2}} = \frac{1}{{x – 2}}\\\frac{{2x(x – 2) + 1 – 4(x – 2)}}{{x – 2}} = \frac{1}{{x – 2}}\\\frac{{2{x^2} – 4x + 1 – 4x + 8}}{{x – 2}} = \frac{1}{{x – 2}}\\\frac{{2{x^2} – 8x + 8}}{{x – 2}} = 0\\\frac{{2({x^2} – 4x + 4)}}{{x – 2}} = 0\\\frac{{2{{(x – 2)}^2}}}{{x – 2}} = 0\end{array}\)

Nếu \(x – 2 = 0\) thì phương trình vô nghĩa.

Nếu \(x – 2 \ne 0\) suy ra \(x \ne 2\) thì phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}2(x – 2) = 0\\2x – 4 = 0\end{array}\)

Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì \(x \ne 2\).

b) Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được:

\(\begin{array}{l}2.2 + \frac{1}{{2 – 2}} – 4 = \frac{1}{{2 – 2}}\,\,\\0 + \frac{1}{0} – 4 = \frac{1}{0}\end{array}\)

Điều này là vô lí nên \(x = 2\) không phải là nghiệm của phương trình (1).

c) Thay \(x = 2\) vào phương trình (2) ta được:

\(\begin{array}{l}2.2 – 4 = 0\\4 – 4 = 0\\0 = 0\end{array}\)

Điều này luôn đúng nên \(x = 2\) là nghiệm của phương trình (2).

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 8 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) \(\frac{5}{{x + 7}} = \frac{{ – 14}}{{x – 5}}\)

b) \(\frac{3}{{3x – 2}} = \frac{x}{{x + 2}} – 1\)

Phương pháp giải:

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để tìm điều kiện xác định của phương trình ta tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.

Lời giải chi tiết:

a) \(\frac{5}{{x + 7}} = \frac{{ – 14}}{{x – 5}}\)

Điều kiện xác định: \(x + 7 \ne 0\) và \(x – 5 \ne 0\)

khi \(x \ne  – 7\) và \(x \ne 5\).

Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  – 7\) và \(x \ne 5\).

b) \(\frac{3}{{3x – 2}} = \frac{x}{{x + 2}} – 1\)

Điều kiện xác định: \(3x – 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\)

khi \(x \ne \frac{2}{3}\) và \(x \ne  – 2\).

Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne \frac{2}{3}\) và \(x \ne  – 2\).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 8 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Cho phương trình \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\).

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Xét các phép biến đổi như sau:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\\\frac{x}{{x – 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\end{array}\)

\(\frac{{x(x + 1)}}{{(x – 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x – 2)}}{{(x + 1)(x – 2)}}\)

\({x^2} + x = {x^2} – 4\)

\(x =  – 4\)

Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.

c) \(x =  – 4\) có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Phương pháp giải:

– Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, để tìm điều kiện xác định của phương trình ta tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0.

– Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình.

– Thay \(x =  – 4\) vào phương trình để kiểm tra có phải là nghiệm hay không.

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện xác định: \(x – 2 \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)

khi    \(x \ne 2\) và \(x \ne  – 1\).

Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 2\) và \(x \ne  – 1\).

b) \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\)

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là \(x + 1\): \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là \((x – 2)(x + 1)\): \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x – 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x – 2)}}{{(x + 1)(x – 2)}}\)

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.\({x^2} + x = {x^2} – 4\)

Giải phương trình ta được \(x =  – 4\)

c) Thay \(x =  – 4\) vào phương trình, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{ – 4}}{{( – 4) – 2}} = \frac{1}{{( – 4) + 1}} + 1\\\frac{{ – 4}}{{ – 6}} = \frac{1}{{ – 3}} + 1\\\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\\\frac{2}{3} – \frac{2}{3} = 0\\0 = 0\end{array}\)

Điều này luôn đúng nên \(x =  – 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy \(x =  – 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình:

a) \(\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\);

b) \(\frac{2}{{x – 2}} – \frac{3}{{x – 3}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 3)(x – 2)}}\).

Phương pháp giải:

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) \(\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\)

Điều kiện xác định: \(x \ne  – 5\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\\\frac{{2(x + 6)}}{{2(x + 5)}} + \frac{{3(x + 5)}}{{2(x + 5)}} = \frac{{2.2(x + 5)}}{{2(x + 5)}}\\2x + 12 + 3x + 15 = 4x + 20\\x =  – 7\end{array}\)

Ta thấy: \(x =  – 7\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  – 7\).

b) \(\frac{2}{{x – 2}} – \frac{3}{{x – 3}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 3)(x – 2)}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x – 2}} – \frac{3}{{x – 3}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 3)(x – 2)}}\\\frac{{2(x – 3)}}{{(x – 2)(x – 3)}} – \frac{{3(x – 2)}}{{(x – 2)(x – 3)}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 2)(x – 3)}}\\2x – 6 – 3x + 6 = 3x – 20\\4x = 20\\x = 5\end{array}\)

Ta thấy \(x = 5\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Hai thành phố A và B cách nhau 120km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi là 20%.

Phương pháp giải:

– Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là \(x\) (km/h), \(x > 0\).

– Biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn \(x\) bằng công thức \(s = v.t\).

– Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình ẩn \(x\).

– Giải phương trình nhận được.

Lời giải chi tiết:

Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là \(x\) (km/h), \(x > 0\).

Thời gian lúc đi của ô tô là \(\frac{{120}}{x}\) (giờ).

Tốc độ lúc về của ô tô là \(x + 20\% x = 1,2x\) (km/h).

Thời gian lúc về của ô tô là \(\frac{{120}}{{1,2x}}\) (giờ).

Đổi 4 giờ 24 phút = \(\frac{{22}}{5}\) giờ.

Vì tổng thời gian đi và về của ô tô là 4 giờ 24 phút nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{120}}{x} + \frac{{120}}{{1,2x}} = \frac{{22}}{5}\\\frac{{120.6}}{{6x}} + \frac{{120.5}}{{6x}} = \frac{{22.1,2x}}{{6x}}\\720 + 600 = \frac{{132}}{5}x\\x = 50\end{array}\)

Ta thấy \(x = 50\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50km/h.