Giải bài tập 1.11 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 – Cùng khám phá

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x – y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x – y} \right) = 5\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 2y} \right) – 4\left( {2x – y} \right) = 5\\4\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {2x – y} \right) = 15\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x – y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x – y} \right) = 5\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 3x – 3y = 4\\x + y + 2x – 2y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}5x – y = 4\\3x – y = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Do hệ số của \(y\) trong hai phương trình bằng nhau nên trừ từng vế hai phương trình của hệ trên ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {5x – y} \right) – \left( {3x – y} \right) = 4 – 5\\5x – y – 3x + y =  – 1\\2x =  – 1\\x = \frac{{ – 1}}{2}.\end{array}\)

Thay \(x =  – \frac{1}{2}\) vào phương trình \(3x – y = 5\), ta có:

\(\begin{array}{l}3.\left( { – \frac{1}{2}} \right) – y = 5\\ – \frac{3}{2} – y = 5\\y = \frac{{ – 13}}{2}.\end{array}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ – 1}}{2};\frac{{ – 13}}{2}} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 2y} \right) – 4\left( {2x – y} \right) = 5\\4\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {2x – y} \right) = 15\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 6y – 8x + 4y = 5\\4x + 8y + 6x – 3y = 15\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} – 5x + 10y = 5\\10x + 5y = 15\end{array} \right.\end{array}\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta thu được hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l} – 10x + 20y = 10\\10x + 5y = 15\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(\begin{array}{l}\left( { – 10x + 20y} \right) + \left( {10x + 5y} \right) = 10 + 15\\ – 10x + 20y + 10x + 5y = 25\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,25y = 25\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 1.\end{array}\)

Thay \(y = 1\) vào phương trình \( – 5x + 10y = 5\), ta có:

\(\begin{array}{l} – 5x + 10.1 = 5\\ – 5x =  – 5\\x = 1.\end{array}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {1;1} \right)\).