Giải bài 6.39 trang 15 sách bài tập toán 8 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết \(x + y + z = 0\) và \(x,y,z \ne 0.\) Rút gọn biểu thức sau:

 \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} – {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} – {x^2}}} + \frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} – {y^2}}}\)

Lời giải chi tiết

Vì \(x + y + z = 0\) nên \(z =  – \left( {x + y} \right)\)

Do đó, \({x^2} + {y^2} – {z^2} = {x^2} + {y^2} – {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} – {x^2} – {y^2} – 2xy =  – 2xy\)

Khi đó, \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} – {z^2}}} = \frac{{xy}}{{ – 2xy}} = \frac{{ – 1}}{2}\)

Tương tự ta có, \(\frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} – {x^2}}} = \frac{{ – 1}}{2};\frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} – {y^2}}} = \frac{{ – 1}}{2}\)

Do đó, \(\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} – {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} – {x^2}}} + \frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} – {y^2}}} = \frac{{ – 1}}{2} + \frac{{ – 1}}{2} + \frac{{ – 1}}{2} = \frac{{ – 3}}{2}\)