Bài 28 trang 55 SBT toán 9 tập 2

LG a

\({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b’\), \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)

+ Nếu \(\Delta ‘ >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}=\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)

+ Nếu \(\Delta ‘ =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b’}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ <0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \)

\( \Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)\(= {\left[ { – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} – 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \)

     \(= 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 2 – 2\sqrt 2 = 1 > 0 \)

\( \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 1 = 1\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( \displaystyle {x_1} =\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \)

\(\displaystyle {x_2} =\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle = {{1 + \sqrt 2 – 1} \over 1} = \sqrt 2  \)

Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức đã cho bằng nhau.

LG b

\(\sqrt 3 {x^2} + 2x – 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b’\), \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)

+ Nếu \(\Delta ‘ >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}=\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)

+ Nếu \(\Delta ‘ =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b’}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ <0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 3 {x^2} + 2x – 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2x – 1 – 2\sqrt 3 x – 3 =0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 – 2\sqrt 3 } \right)x – 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 – \sqrt 3 } \right)x – 4 = 0 \) 

\( \Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)\(= {\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^2} – \sqrt 3 \left( { – 4} \right) \)

\( = 1 – 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \)

\( = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \)

\( \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\displaystyle {x_1} =\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle= {{\sqrt 3 – 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \)

\( \displaystyle{x_2} =\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle= {{\sqrt 3 – 1 – 1 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 3 }} \)\(\,\displaystyle= {{ – 2\sqrt 3 } \over 3} \)

Vậy \(x = 2\) hoặc \(\displaystyle x = {{ – 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức đó bằng nhau.

LG c

\( – 2\sqrt 2 x – 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b’\), \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)

+ Nếu \(\Delta ‘ >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}=\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)

+ Nếu \(\Delta ‘ =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b’}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ <0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(- 2\sqrt 2 x – 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \) 

\(\Leftrightarrow  \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 +2\sqrt 2 x +1=0\) 

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \)

\( \Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)\(= {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} – \sqrt 2 .4 \) 

\( = 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 4\sqrt 2 \)

\( = 1 – 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2} > 0 \)

\(\sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 – 1 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\displaystyle {x_1} =\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle= {{ – 1 – \sqrt 2 + \sqrt 2 – 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 2 }} \)\(\,= – \sqrt 2 \)

\(\displaystyle{x_2} =\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle= {{ – 1 – \sqrt 2 – \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }}\)\(\, = – 2  \)

Vậy \(x =  – \sqrt 2 \) hoặc \(x =  – 2\) thì hai biểu thức bằng nhau.

LG d

\({x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b’\), \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)

+ Nếu \(\Delta ‘ >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}=\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)

+ Nếu \(\Delta ‘ =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b’}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ <0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\({x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow   2{x^2} + 2x + \sqrt 3 -{x^2} + 2\sqrt 3 x + \sqrt 3=0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \) 

\( \Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)\(= {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} – 1.2\sqrt 3 \)

\( = 1 + 2\sqrt 3 + 3 – 2\sqrt 3 = 4 > 0 \) 

\( \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 4 = 2 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\displaystyle {x_1} =\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle = {{ – 1 – \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 – \sqrt 3 \)

\(\displaystyle {x_2} =\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle = {{ – 1 – \sqrt 3 – 2} \over 1} = – 3 – \sqrt 3  \)

Vậy \(x = 1 – \sqrt 3 \) hoặc \(x =  – 3 – \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau.

LG e

\(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 \) và \( – {x^2} – 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5  + 1\)?

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b’\), \(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)

+ Nếu \(\Delta ‘ >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}=\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)

+ Nếu \(\Delta ‘ =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b’}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ‘ <0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\( \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 = – {x^2} – 2\sqrt 3 x \)\(\,+ 2\sqrt 5 + 1 \)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 +{x^2} \)\(+ 2\sqrt 3 x \,- 2\sqrt 5 – 1=0 \)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x \)\(\,- 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \) 

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x\)\(\, – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \)

\( \Delta ‘ = b{‘^2} – ac\)\(= {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2}\)\(\, – \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1} \right) \)
\(= 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 \)\(\,+ 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \)

\( = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \)

\( = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 \)\(\,+ 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \)

\( = 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} \)\(\,+ {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 \)\(\,+ 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \) 

\(= {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \)

\( \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} \)\(\,= 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( \displaystyle{x_1} =\dfrac{-b’ + \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)\(\,\displaystyle= {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \)

\( \displaystyle{x_2} =\dfrac{-b’ – \sqrt{\bigtriangleup ‘}}{a}\)\( \displaystyle = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) – 1 – 2\sqrt 3 – \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)\(\,\displaystyle= {{ – 1 – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)

\( = -4 + \sqrt 3 + \sqrt 5 – \sqrt {15}  \)

Vậy \(x=1\) và \(x = -4 + \sqrt 3 + \sqrt 5 – \sqrt {15}  \) thì hai biểu thức bằng nhau.

Webgiaibaitap.com