Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) \(1 – \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} – \frac{1}{{{5^3}}} + … + {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n} + …\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + … + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n – 1}}}} + …\)

Lời giải chi tiết

a) Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{{ – 1}}{5}\) nên \(1 – \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} – \frac{1}{{{5^3}}} + … + {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n} + … = \frac{1}{{1 – \left( { – \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{6}\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + … + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n – 1}}}} + …\)\( = 2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + … + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n – 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + …} \right]\)

Tổng \(1 + \frac{2}{3} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + … + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + …\) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + … + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n – 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + …} \right] = 2.\frac{1}{{1 – \frac{2}{3}}} = 6\)