Giải bài tập 6 trang 56 SGK Toán 9 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{a\sqrt b  – b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = a – b\) với a > 0; b > 0

b) \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{a – \sqrt a }}{{\sqrt a  – 1}}} \right) = 1 – a\) với a \( \ge \) 0 và a \( \ne \)1

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{a\sqrt b  – b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = a – b\) với a > 0; b > 0

Xét vế trái ta có:

\(\frac{{a\sqrt b  – b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = \frac{{\left( {a\sqrt b  – b\sqrt a } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}\)

\( = \frac{{a\sqrt {ab}  + ab – ab – b\sqrt {ab} }}{{\sqrt {ab} }} = \frac{{\left( {a – b} \right)\sqrt {ab} }}{{\sqrt {ab} }} = a – b\) = VP

b) \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{a – \sqrt a }}{{\sqrt a  – 1}}} \right) = 1 – a\) với a \( \ge \) 0 và a \( \ne \)1

Xét vế trái ta có:

\(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{a – \sqrt a }}{{\sqrt a  – 1}}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  – 1} \right)}}{{\sqrt a  – 1}}} \right)\)

\( = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 – \sqrt a } \right) = 1 – {\left( {\sqrt a } \right)^2} = 1 – a\) =  VP.