Giải bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 3}}\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} – 3x – 6}}{{x + 2}}\) 

c) \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ – }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 3}} =  – \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{2{x^2} – 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{1 + \frac{2}{{{x^2}}}}}{{2 – \frac{3}{x}}} = \frac{1}{2}\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } (y – ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } (\frac{{{x^2} + 2}}{{2x – 3}} – \frac{x}{2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2 + \frac{{3x}}{2}}}{{2x – 3}} = \frac{{\frac{2}{x} + \frac{3}{2}}}{{2 – \frac{3}{x}}} = \frac{3}{4}\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{3}{2}\) và y = \(\frac{1}{2}x – \frac{3}{4}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

b) Xét \(y = \frac{{2{x^2} – 3x – 6}}{{x + 2}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} \frac{{2{x^2} – 3x – 6}}{{x + 2}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} \frac{{2{x^2} – 3x – 6}}{{x + 2}} =  – \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2{x^2} – 3x – 6}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2 – \frac{3}{x} – \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } (y – ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } (\frac{{2{x^2} – 3x – 6}}{{x + 2}} – 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{ – 7x – 6}}{{x + 2}} = \frac{{ – 7 – \frac{6}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} =  – 7\)

Vậy đường thẳng x = -2 và y = \(2x – 7\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

c) Xét \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{5}{2}} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {{\frac{5}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {{\frac{5}{2}}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {{\frac{5}{2}}^ – }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  – \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2{x^2} + 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2 + \frac{9}{x} + \frac{{11}}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } (y – ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } (\frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} – 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{ – x + 11}}{{2x + 5}} = \frac{{ – 1 + \frac{{11}}{x}}}{{2 + \frac{5}{x}}} =  – \frac{1}{2}\)

Vậy đường thẳng x = \( – \frac{5}{2}\) và y = \(2x – \frac{1}{2}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số