Giải bài tập 14 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; –2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc toạ độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {OB}  = (0; – 2;3)\)

Gọi H(x;y;z) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác OAB

=> \(\overrightarrow {OH}  = (x;y;z)\)

\(\overrightarrow {OH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {OB} \) nên \(x = 0;y =  – 2t;z = 3t\) => \(H(0; – 2t;3t)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AH}  = ( – 1; – 2t – 2;3t + 1)\)

\(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow  – 1.0 – 2.( – 2t – 2) + 3.(3t + 1) = 0 \Leftrightarrow t =  – \frac{7}{{13}}\)

Vậy \(H(0;\frac{{14}}{{13}};\frac{{ – 21}}{{13}})\)

b) \(\overrightarrow {AH}  = ( – 1; – \frac{{12}}{{13}}; – \frac{8}{{13}}) \Rightarrow AH = \sqrt {{{( – 1)}^2} + {{( – \frac{{12}}{{13}})}^2} + {{( – \frac{8}{{13}})}^2}}  = \frac{{\sqrt {377} }}{{13}}\)

\(\overrightarrow {OB}  = (0; – 2;3) \Rightarrow OB = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \)

Diện tích tam giác OAB: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {377} }}{{13}}.\sqrt {13}  = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\)