Giải bài 3 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Giải hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x – y – 2z = 5\\2x + y + 3z = 6\\6x – y – 4z = 9\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y – 3z = 5\\3x – y + z = 4\\7x + y – 5z =  – 2\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\2x – y – 3z = 3\\x – 3y + z = 4\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

 \(\begin{array}{l}\quad \;\left\{ \begin{array}{l}3x – y – 2z = 5\\2x + y + 3z = 6\\6x – y – 4z = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – y – 2z = 5\\2x + y + 3z = 6\\6x – y – 4z – 2(3x – y – 2z) = 9 – 2.5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – y – 2z = 5\\2x + y + 3z = 6\\y =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – y – 2z = 5\\3(2x + y + 3z) – 2(3x – y – 2z) = 3.6 – 2.5\\y =  – 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – y – 2z = 5\\5y + 13z = 8\\y =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – y – 2z = 5\\z = 1\\y =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 1\\y =  – 1\end{array} \right.\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {2; – 1;1} \right)\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\quad \;\left\{ \begin{array}{l}2x + y – 3z = 5\\3x – y + z = 4\\7x + y – 5z =  – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y – 3z = 5\\3x – y + z = 4\\7x + y – 5z – 2\left( {2x + y – 3z} \right) =  – 2 – 2.5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y – 3z = 5\\3x – y + z = 4\\3x – y + z =  – 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y – 3z = 5\\3x – y + z = 4\\4 =  – 12\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c)  Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\2x – y – 3z = 3\\x – 3y + z = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\2x – y – 3z = 3\\x – 3y + z + \left( {x + 2y – 4z} \right) = 4 + ( – 1)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\2x – y – 3z = 3\\2x – y – 3z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\2x – y – 3z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\x – 3y + z = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\5y – 5z =  – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 4z =  – 1\\y = z – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2z + 1\\y = z – 1\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(z = t\) với \(t\) là số thực bất kì, ta có: \(x = 2t + 1;y = t – 1.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm \((x;y;z) = (2t + 1;t – 1;t)\) với \(t\) là số thực bất kì.