Giải bài 20 trang 14 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = 4{x^2} – 4x + 23\)

b) \(B = 25{x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 2\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(A = 4{x^2} – 4x + 23 = \left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) + 22 = {\left( {2x – 1} \right)^2} + 22\)

Mà \({\left( {2x – 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), suy ra \({\left( {2x – 1} \right)^2} + 22 \ge 22\) với mọi \(x\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(22\) khi \(2x – 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{2}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = 25{x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 2 = \left( {25{x^2} + 10x + 1} \right) + \left( {{y^2} – 4y + 4} \right) – 3\\ = {\left( {5x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} – 3\end{array}\)

Mà \({\left( {5x + 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {y – 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) và \(y\), suy ra \({\left( {5x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} – 3 \ge  – 3\) với mọi \(x\) và \(y\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là -3 khi \(5x + 1 = 0\) và \(y – 2 = 0\) hay \(x =  – \frac{1}{5}\) và \(y = 2\).