Bài 46 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

LG a

Cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 6x – 2y + 4z + 5 = 0\) và điểm \({M_0}(4;3;0)\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \({M_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy điểm \({M_0}(4;3;0)\) thuộc mặt cầu và điểm \(I(3;1; – 2)\) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M₀ là mặt phẳng đi qua điểm M₀ với vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {I{M_0}} \), nó có phương trình :

\(1.(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – 0) = 0\) hay \(x + 2y + 2z – 10 = 0.\)

LG b

Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(x + 2y – 2z + 5 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \(R = {{\left| { – 2 + 2 – 2 + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.\)

Vậy phương trình mặt cầu là

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1.\)

LG c

Cho bốn điểm \(A(3; – 2; – 2),B(3;2;0),C( – 1;1;2).\) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( – 3;0;1),\overrightarrow {BD}  = ( – 4; – 1;2) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\).

Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là :

\(1(x – 3) + 2(y – 2) + 3(z – 0) = 0\) hay \(x + 2y + 3z – 7 = 0.\)

Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :

\(R = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = {{\left| {3 + 2( – 2) + 3( – 2) – 7} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} .\)

Vậy phương trình mặt cầu là :

\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14.\)

LG d

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \(A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)\) và có tâm I nằm trên mặt phẳng \(x + y + z – 3 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng

\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.\)

Ta có \(\eqalign{  & A \in (S) \Rightarrow 1 – 2a + d = 0,  \cr  & B \in (S) \Rightarrow 1 – 2b + d = 0,  \cr  & C \in (S) \Rightarrow 1 – 2c + d = 0. \cr} \)

Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng \(x + y + z – 3 = 0\) nên \(a + b + c – 3 = 0.\)

Giải hệ \(\left\{ \matrix{  1 – 2a + d = 0 \hfill \cr  1 – 2b + d = 0 \hfill \cr  1 – 2c + d = 0 \hfill \cr  a + b + c – 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a = b = c = d = 1.\)

Vậy phương trình mặt cầu là

\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.\)

Webgiaibaitap.com