Bài 3.31 trang 178 SBT giải tích 12

LG câu a

\(\displaystyle  y = 2x – {x^2},x + y = 2\)

Phương pháp giải:

– Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

– Sử dụng công thức tính diện tích \(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  y = 2x – {x^2},y = 2 – x\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\displaystyle  2x – {x^2} = 2 – x\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích \(\displaystyle  S = \int\limits_1^2 {\left| {2x – {x^2} – 2 + x} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^2 {\left| { – {x^2} + 3x – 2} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^2 {\left( { – {x^2} + 3x – 2} \right)dx} \)

\(\displaystyle   = \left. {\left( { – \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{3}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^2\) \(\displaystyle   =  – \dfrac{8}{3} + 6 – 4 + \dfrac{1}{3} – \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{1}{6}\)

Vậy \(\displaystyle  S = \dfrac{1}{6}\).

LG câu b

\(\displaystyle  y = {x^3} – 12x,y = {x^2}\)

Phương pháp giải:

– Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle  {x_1} < {x_2} < … < {x_n}\).

– Tính diện tích theo công thức:

\(\displaystyle  S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx}  + …\) \(\displaystyle   + \int\limits_{{x_{n – 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle  … + \left| {\int\limits_{{x_{n – 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\).

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\displaystyle  {x^3} – 12x = {x^2}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow {x^3} – {x^2} – 12x = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – x – 12} \right) = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} – x – 12 = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  – 3\\x = 4\end{array} \right.\)

Diện tích là:

\(\displaystyle  S = \int\limits_{ – 3}^4 {\left| {{x^3} – 12x – {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{ – 3}^0 {\left| {{x^3} – 12x – {x^2}} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} – 12x – {x^2}} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_{ – 3}^0 {\left( {{x^3} – {x^2} – 12x} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_0^4 {\left( {{x^3} – {x^2} – 12x} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}\).

Vậy \(\displaystyle  S = \frac{{937}}{{12}}\).

LG câu c

\(\displaystyle  x + y = 1;x + y =  – 1;\) \(\displaystyle  x – y = 1;x – y =  – 1\)

Phương pháp giải:

Dựng hình và suy ra diện tích.

Giải chi tiết:

Vẽ các đường thẳng \(\displaystyle  x + y = 1;x + y =  – 1;\) \(\displaystyle  x – y = 1;x – y =  – 1\) trên hệ tục tọa độ ta được phần cần tính diện tích là hình vuông có các đỉnh \(\displaystyle  \left( { – 1;0} \right),\left( {0; – 1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {0;1} \right)\).

Diện tích hình vuông là: \(\displaystyle  S = 4.\frac{1}{2}.1.1 = 2\).

Chú ý:

Sử dụng công thức tích phân ta được \(\displaystyle  S = 4\int\limits_0^1 {\left( {1 – x} \right)dx} \)\(\displaystyle   = 4\left. {\left( {x – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = 4\left( {1 – \frac{1}{2}} \right) = 2\).

LG câu d

 \(\displaystyle  y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\)

Phương pháp giải:

– Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle  {x_1} < {x_2} < … < {x_n}\).

– Tính diện tích hình phẳng theo công thức \(\displaystyle  S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{2}\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow 1 + {x^2} = 2\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Diện tích: \(\displaystyle  S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} – \frac{1}{2}} \right|dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} – \frac{1}{2}} \right)dx} \)

Dễ thấy hàm số \(\displaystyle  y = \frac{1}{{{x^2} + 1}} – \frac{1}{2}\) là hàm số chẵn nên \(\displaystyle  S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} – \frac{1}{2}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} – \frac{1}{2}} \right)dx} \)

Xét \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} – \frac{1}{2}} \right)dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}}  – \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx} \) \(\displaystyle   = J – \frac{1}{2}\) với \(\displaystyle  J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \)

Đặt \(\displaystyle  x = \tan t \Rightarrow dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\) \(\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}dt}  = \frac{\pi }{4}\)\(\displaystyle   \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} – \frac{1}{2}\)

Vậy \(\displaystyle  S = 2I = 2.\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} – 1\).

LG câu e

\(\displaystyle  y = {x^3} – 1\) và tiếp tuyến với \(\displaystyle  y = {x^3} – 1\) tại điểm \(\displaystyle  \left( { – 1; – 2} \right)\).

Phương pháp giải:

– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(\displaystyle  \left( { – 1; – 2} \right)\).

– Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa tiếp tuyến với đồ thị hàm số.

– Tính diện tích theo công thức \(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Xét \(\displaystyle  y = g\left( x \right) = {x^3} – 1\) có \(\displaystyle  g’\left( x \right) = 3{x^2}\)\(\displaystyle   \Rightarrow g’\left( { – 1} \right) = 3\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle  y = g\left( x \right)\) tại điểm \(\displaystyle  \left( { – 1; – 2} \right)\) là:

\(\displaystyle  y = 3\left( {x + 1} \right) – 2\) hay \(\displaystyle  y = 3x + 1\).

Xét phương trình \(\displaystyle  {x^3} – 1 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} – 3x – 2 = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Diện tích: \(\displaystyle  S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^3} – 3x – 2} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – {x^3} + 3x + 2} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \left. {\left( { – \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^2\) \(\displaystyle   =  – 4 + 6 + 4 + \dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{{27}}{4}\).

Vậy \(\displaystyle  S = \dfrac{{27}}{4}\).

Webgiaibaitap.com