Bài 2.60 trang 132 SBT giải tích 12

LG a

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}(x – 1) \ge  – 2\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}(x – 1) \ge  – 2\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x – 1 \le {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 2}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x – 1 \le 9\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x \le 10\)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 1 < x \le 10\).

LG b

\(\displaystyle {\log _3}(x – 3) + {\log _3}(x – 5) < 1\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x – 3 > 0\\x – 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _3}{\rm{[}}(x – 3)(x – 5){\rm{]}} < {\log _3}3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {x – 5} \right) < 3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 15 < 3\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 12 < 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 2 < x < 6\).

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 5 < x < 6\).

LG c

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x – 7}} < 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \frac{{2{x^2} + 3}}{{x – 7}} > 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow x – 7 > 0\)(vì \(2x^2+3>0,\forall x\in R\))

\( \Leftrightarrow x > 7\).

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 3}}{{x – 7}} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 1\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} + 3 > x – 7\) (vì \(x-7 > 0,\forall x>7\))

\(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} – x + 10 > 0\)

(luôn đúng vì \(a=2>0\) và \(\Delta  = {1^2} – 4.2.10 =  – 79 < 0\)).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle x > 7\).

LG d

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{\log _2}{x^2} > 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} > {2^0} = 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  – 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  – 1\end{array} \right.\)

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{\frac{1}{3}}}1\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} < 2\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow  – \sqrt 2  < x < \sqrt 2 \)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1 < x < \sqrt 2 \\ – \sqrt 2  < x <  – 1\end{array} \right.\).

LG e

\(\displaystyle \frac{1}{{5 – \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)

Phương pháp giải:

– Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = \log x\), biến đổi bất phương trình về ẩn \(\displaystyle t\).

– Giải bất phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log x \ne 5\\\log x \ne  – 1\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne {10^5}\\
x \ne {10^{ – 1}}
\end{array} \right.\)

Đặt \(\displaystyle t = \log x\) với điều kiện \(\displaystyle t \ne 5,t \ne  – 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
 \frac{1}{{5 – t}} + \frac{2}{{1 + t}} – 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2\left( {5 – t} \right) – \left( {5 – t} \right)\left( {1 + t} \right)}}{{\left( {5 – t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 10 – 2t – 5 – 4t + {t^2}}}{{\left( {5 – t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{t^2} – 5t + 6}}{{\left( {5 – t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {t – 2} \right)\left( {t – 3} \right)}}{{\left( {5 – t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0
\end{array}\)

Xét dấu VT ta được: \(\displaystyle  \left[ \begin{array}{l}t <  – 1\\2 < t < 3\\t > 5\end{array} \right.\)

TH1: \(\displaystyle t <  – 1\) suy ra \(\displaystyle \log x <  – 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{{10}}\).

TH2: \(\displaystyle 2 < t < 3\) suy ra \(\displaystyle 2 < \log x < 3 \Leftrightarrow 100 < x < 1000\).

TH3: \(\displaystyle t > 5\) suy ra \(\displaystyle \log x > 5 \Leftrightarrow x > {10^5}\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(\displaystyle 0 < x < \frac{1}{{10}}\) hoặc \(\displaystyle 100 < x < 1000\) hoặc \(\displaystyle x > 100000\).

LG g

\(\displaystyle 4{\log _4}x – 33{\log _x}4 \le 1\)

Phương pháp giải:

– Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {\log _4}x\), biến đổi bất phương trình về ẩn \(\displaystyle t\).

– Giải bất phương trình và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\displaystyle x > 0,x \ne 1\).

Đặt \(\displaystyle t = {\log _4}x \Rightarrow x = {4^t}\), ta có:

\(\begin{array}{l}
4t – 33{\log _{{4^t}}}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t – \frac{{33}}{t}{\log _4}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t – \frac{{33}}{t} \le 1
\end{array}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} – t – 33}}{t} \le 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{(4t + 11)(t – 3)}}{t} \le 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le  – \frac{{11}}{4}\\0 < t \le 3\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _4}x \le  – \frac{{11}}{4}\\0 < {\log _4}x \le 3\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x \le {4^{ – \frac{{11}}{4}}}\\1 < x \le 64\end{array} \right.\)

Webgiaibaitap.com