Giải bài tập 3.30 trang 71 SGK Toán 9 tập 1 – Cùng khám phá

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) \(\left( {\frac{1}{{\sqrt a  – 1}} + \frac{1}{{a – \sqrt a }}} \right):\frac{{\sqrt a  + 1}}{{a – 2\sqrt a  + 1}}\);

b) \(\frac{{xy + y\sqrt x  + \sqrt x  + 1}}{{y\sqrt x  + 1}}\);

c) \(\frac{{\sqrt {{a^3}}  – \sqrt {{b^3}}  + \sqrt {{a^2}b}  – \sqrt {a{b^2}} }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\left( {\frac{1}{{\sqrt a  – 1}} + \frac{1}{{a – \sqrt a }}} \right):\frac{{\sqrt a  + 1}}{{a – 2\sqrt a  + 1}}\)\( = \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  – 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a  – 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a  + 1}}\)\( = \frac{{\sqrt a  – 1}}{{\sqrt a }}\);

b) \(\frac{{xy + y\sqrt x  + \sqrt x  + 1}}{{y\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {y\sqrt x  + 1} \right) + \left( {y\sqrt x  + 1} \right)}}{{y\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {y\sqrt x  + 1} \right)}}{{y\sqrt x  + 1}}\)\( = \sqrt x  + 1\);

c) \(\frac{{\sqrt {{a^3}}  – \sqrt {{b^3}}  + \sqrt {{a^2}b}  – \sqrt {a{b^2}} }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt {{a^3}}  + \sqrt {{a^2}b} } \right) – \left( {\sqrt {{b^3}}  + \sqrt {a{b^2}} } \right)}}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)\( = \frac{{\sqrt {{a^2}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) – \sqrt {{b^2}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {a – b} \right)}}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)\( = a – b\)